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Problème de Monty Hall

Christophe Devalland — 2023-06-30T22:07:00Z

Le nom de ce problème mathématique vient du nom de l'animateur d'origine canadienne Monty Hall qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans. Voici son déroulement :

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

La question que l'on se pose est :
Quelle est la stratégie qui offre le plus de chance de gagner la voiture ?

La fonction suivante permet de simuler une partie de ce jeu. Si le paramètre vaut "change" le joueur change de porte, sinon, il conserve son choix initial. Cette fonction renvoie le gain obtenu.

def MontyHall(change_porte): # simule une partie du jeu de Monty Hall # choisir la porte de la voiture porte_voiture=randint(1,3) # le joueur choisit une porte au hasard choix1=randint(1,3) # Monty Hall ouvre une porte montrant une chèvre # construire la liste des portes pouvant être ouvertes nb_portes=0 liste_portes=[] for i in range(1,4): if i<>porte_voiture and i<>choix1: liste_portes.append(i) nb_portes=nb_portes+1 # choisir au hasard une porte à ouvrir parmi celles possibles choix_Monty = liste_portes[randint(0,nb_portes-1)] # construire la liste des portes restantes pour le joueur liste_portes = [] for i in range(1,4): if i<>choix_Monty: liste_portes.append(i) # le joueur choisit une porte à ouvrir if change_porte=="change": if liste_portes[0]==choix1: choix2=liste_portes[1] else: choix2=liste_portes[0] else: choix2=choix1 # on regarde ce que le joueur gagne if choix2==porte_voiture: return("Voiture") else: return("Chevre")

Une fois compilée, on crée un tableau qui simule dans une colonne 100 parties de ce jeu en faisant changer le joueur de porte. Dans une autre colonne on simule 100 autres parties en ne faisant pas changer le joueur de porte. On calcule la fréquence de gain de la voiture dans chaque cas :

Les simulations font apparaître une fréquence de gain de la voiture deux fois plus élevée lorsque le joueur change de porte. Ce résultat étonnant peut se justifier à l'aide d'un arbre pondéré.

En appuyant sur Ctrl+Maj+F9, Calc recalcule toutes les cellules ce qui permet de resimuler 200 nouvelles parties. On constate qu'il vaut mieux changer de porte pour espérer gagner la voiture.

Le lièvre et la tortue

Christophe Devalland — 2022-07-09T12:22:48Z

Le lièvre et la tortue font la course.

Voici les règles de cette course :

On lance un dé à six faces non truqué.
Si le 6 sort, le lièvre fait un bond jusqu'à la coupe et gagne la course.
Sinon, la tortue avance d'une case.
Si la tortue atteint la quatrième case, elle gagne la course.
On relance le dé jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.

Lequel des deux a le plus de chances de gagner la course ?

Les règles du jeu sont telles qu'il n'est pas évident de savoir, a priori, lequel des deux a le plus de chances de gagner la course. Dans cette activité, quelques programmes Python servent à modéliser la situation et à conjecturer la réponse à ce problème grâce au principe de l'estimation d'une probabilité par une fréquence observée sur un échantillon.

Les compétences mises en œuvre dans cette activité couvrent la totalité du paragraphe « Échantillonnage » du programme de Seconde :

Commençons par définir une fonction qui simule une course :

def uneCourse(): for i in range(4): if randint(1,6)==6: return lièvre return tortue

Tapons ce code dans la fenêtre « Commandes CAS » :

Après compilation, la fonction est utilisable dans le tableur, comme toute autre fonction intégrée à LibreOffice :

Dans cette feuille de calcul, on simule 40 courses. Est-ce suffisant pour conjecturer qui gagnera le plus souvent cette course ?
Pour répondre à cette question, nous pouvons relancer ces 40 simulations en forçant le recalcul des cellules avec la combinaison de touches CTRL+MAJ+F9. Après plusieurs actualisation de la feuille de calculs, nous constatons que la fluctuation d'échantillonnage est très marquée et que les fréquences calculées ne permettent pas de deviner qui est avantagé dans cette course.

Augmentons donc le nombre de courses pour approcher les fréquences de gains grâce à la loi des grands nombres. Le code suivant permettra de compter le nombre de victoire de la tortue après n courses :

def courses(n): t=0 for j in range(n): if uneCourse()==tortue: t=t+1 return t

Tapons ce code dans la fenêtre « Commandes CAS » :

Son utilisation dans CALC :

On constate que la fréquence de gain de la tortue semble se stabiliser vers 0,482 pour 100000 courses.
La construction d'un arbre pondéré peut permettre de déterminer que la probabilité de gain de la tortue vaut exactement ${\left( \frac{5}{6}\right)}^4$, ce qui est cohérent avec la valeur trouvée expérimentalement, dans le respect de la loi des grands nombres.

Nous allons maintenant, conformément aux capacités attendues par le programme, simuler N échantillons de taille n de cette expérience aléatoire à deux issues (la tortue gagne ou perd). On admet que la probabilité du gain p vaut 0,482 à $10^{-3}$ près. On appelle f la fréquence de gain observée dans un échantillon. On veut calculer proportion des cas où l'écart entre p et ƒ est inférieur ou égal à $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

Le code suivant permet de renvoyer cette proportion :

def simuler(N,n): c=0 for k in range(N): frequence=courses(n)/n if abs(frequence-0.482)<=1/sqrt(n): c=c+1 return c/N

Tapons ce code dans la fenêtre « Commandes CAS » :

Son utilisation dans CALC :

On constate une proportion proche de 95%.

Une utilisation de la forme canonique : étude des variations d'une fonction trinôme

Christophe Devalland — 2011-07-01T10:09:00Z

Extrait du document ressource « fonctions » de la classe de seconde :
“Lorsqu'il s'agira ensuite pour un élève de donner les variations d'une fonction polynôme du second degré quelconque, il pourra par exemple :
Prendre appui sur le fait – établi en cours – qu'une fonction polynôme de degré 2 est soit croissante puis décroissante soit le contraire. Il ne lui restera plus alors qu'à trouver pour quel nombre réel il y a changement de variation.
Si la forme canonique est disponible (soit parce que l'expression de la fonction est mise naturellement sous cette forme soit parce que l'élève identifie qu'il en a besoin et qu'il l'obtient en utilisant un logiciel de calcul formel), il pourra en déduire à la fois l'extremum, la valeur en laquelle il est atteint et son caractère (minimum ou maximum)”

Le fichier "forme canonique (étude d'extremum).ods" sert de document de travail pour cette étude :

forme canonique (étude des variations).ods

Voici son contenu :

Remarques : La fonction trinome a été préalablement définie dans l'éditeur de fonction (icône CAS) par : trinome(a,b,c) :=a*x^2+b*x+c
formecanonique, fmin et fmax sont des fonctions de CmathOOoCAS.
Les trois curseurs permettent de modifier les valeurs de a, b et c avec un pas défini dans la cellule F27.

Les réponses aux questions suivantes peuvent être conjecturées en manipulant les curseurs :

Quelles est l'influence de $a$ sur l'allure de la courbe représentative C de la fonction trinôme $f$ ?
Sous quelle condition $f$ présente-t-elle un maximum, un minimum ?
Quelle est l'influence de $c$ sur $f$ ?
Quel intérêt présente la forme canonique de $f$ ?
Expliquer les « infinity » qui apparaissent à Xmin ou Xmax
Commenter les valeurs de Xmin, f(Xmin), Xmax et f(Xmax) lorsque ${a}={0}$. Quelle est alors la nature de $f$ ?
à compléter suivant inspiration ...

Somme de trois entiers consécutifs (collège)

Christophe Devalland — 2010-04-16T21:09:00Z

Cette activité va mettre en évidence tout l'intérêt de la factorisation. On laisse la machine effectuer des calculs algébriques qui dépassent de loin le niveau collège pour se concentrer sur le raisonnement. On aboutira à une généralisation de cette propriété dans certains cas.

On veut montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.

1. Créer une feuille de calcul sur le modèle ci-dessous et utiliser uniquement la fonction "csomme" pour vérifier cette propriété sur quelques exemples (il est possible, avec quelques formules bien choisies de remplir tout le tableau uniquement en donnant un nombre de départ dans la cellule A2)

2. A la dernière ligne du tableau, remplacer le « premier nombre » par $n$.
Qu'obtient-on comme « somme des trois entiers » ?
A l'aide de la fonction "cquotient", diviser cette somme par 3 puis simplifier le résultat (icône "simplifier").
Pourquoi ce résultat est-il entier ?
Comment l'obtenir par le calcul ?
A-t-on ainsi démontré cette propriété ?

On veut savoir si, plus généralement, la somme de 2 entiers consécutifs est divisible par 2, la somme de 4 entiers consécutifs est divisible par 4, etc...

1. Cette propriété est-elle vraie pour la somme de 2 entiers consécutifs ? pour 4 ?

2. A l'aide de l'éditeur de fonctions (icône "CAS") compiler la fonction suivante (qui calcule la somme de $p$ entiers consécutifs en commençant à $n$) :

pSommes(n,p):={ return(somme(k,k,n,n+p-1))}

A l'aide de la ligne de commande, utiliser la fonction pSommes pour calculer quelques sommes de 2 puis 4 entiers consécutifs pour confirmer la réponse à la question 1.

3. Utiliser encore cette fonction pour calculer quelques sommes de 5 entiers consécutifs.
Que constate-t-on ?

4. Remplir le tableau suivant en utilisant la fonction pSommes :

Cela suffit-il à démontrer la propriété pour 5 entiers consécutifs ?

5. Remplacer le premier entier 20 par $n$. Dans la colonne C, demander la simplification du résultat obtenu.
Comment conclure rigoureusement quant à la somme de 5 entiers consécutifs ?

6. En testant des valeurs de $p$ impaires, vérifier que la propriété reste vraie.
En testant des valeurs de $p$ paires, vérifier que la propriété est toujours fausse.

7. Entrer la valeur ${p}={2 q}+1$ dans la cellule B2.
Calculer la forme factorisée du résultat simplifié (utiliser la fonction "factoriser").
Peut-on conclure ?

8. Terminer l'étude de cette propriété pour les nombres $p$ pairs.

Travail attendu :

La somme dans le cas général vaut . Un peu de réflexion est nécessaire pour expliquer pourquoi ce nombre est toujours divisible par 3. On voit l'intérêt d'une factorisation par 3 (à effectuer manuellement par l'élève).

la fonction pSommes confirme que la somme de 2 entiers consécutifs n'est pas toujours divisible par 2. Idem pour 4. Par contre, on trouve un exemple qui vérifie la propriété pour 5 entiers consécutifs.

La simplification de la somme de 5 entiers consécutifs partant de confirme que cette somme est un multiple de 5.

On généralise en calculant la somme de $p$ entiers consécutifs partant de $n$. Pour $p=2q+1$, c'est-à-dire $p$ est impair, la factorisation du résultat confirme que cette somme est un multiple de $p$.

Découverte de la forme canonique d'un trinôme (lycée)

Christophe Devalland — 2009-10-29T22:36:00Z

Activité permettant de découvrir les avantages de l'écriture sous forme canonique des fonctions trinômes.
Le tableur formel permet d'expérimenter très facilement et de valider les conjectures émises.
On pourra aller jusqu'à découvrir une signification au signe de
${\Delta}={{b}^{2}}-4 ac$.

Texte de l'activité :

Activité de découverte de la forme canonique

Document tableur :

Fichier tableur

Nombres équirépartis, nombres univers (collège, lycée)

Christophe Devalland — 2009-10-28T21:14:00Z

On se limitera ici à l'écriture des nombres en base 10.
Définition : On dit qu'un nombre réel x est équiréparti si, dans la suite infinie constituée des décimales de x (parfois il peut y avoir beaucoup de zéros !), chacun des chiffres de 0 à 9 a une fréquence d'apparition de $\textstyle{{ \frac{1}{10}}}$ .

Le fichier suivant est fourni aux élèves :

a) On veut étudier le nombre 0,189145 (compléter les cellules B1 et B2).
b) Compléter le tableau pour faire apparaître la fréquence d'apparition de chacun des chiffres de 0 à 9.
c) Augmenter le nombre de décimales affichées pour atteindre progressivement 100 décimales. Observer l'évolution des fréquences. Le nombre 0,189145 est-il équiréparti ?
c) En expérimentant (et en réfléchissant) dire si un nombre entier ou un nombre décimal peut être un nombre équiréparti. Justifier.
a) Entrer le nombre $\textstyle{{ \frac{1}{3}}}$ dans la cellule B1 (entrer ="1/3") et afficher 20 décimales.
b) Dire si $\textstyle{{ \frac{1}{3}}}$ est, semble, ne semble pas ou n'est pas équiréparti.
a) Afficher les 50 premières décimales du nombre $\textstyle{{ \frac{1}{7}}}$.
b) Pourquoi certaines décimales n'apparaissent jamais ? (On peut penser à faire un raisonnement par l'absurde en pensant au reste de la division euclidienne par 7)
c) Dire si $\textstyle{{ \frac{1}{7}}}$ est, semble, ne semble pas ou n'est pas équiréparti.
En s'inspirant du raisonnement de la question 3, on peut dire avec certitude que certains nombres s'écrivant sous la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ avec ${n}\in{{\mathbb{N}^\textrm{*}}}$ ne peuvent pas être équirépartis. Lesquels ?
Expérimenter d'autres valeurs de $n$ et dire si les nombres de la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ sont, semblent, ne semblent pas ou ne sont pas équirépartis.
On s'intéresse au nombre $\pi$ (="pi").
a) Construire un diagramme permettant de visualiser la répartition des fréquences d'apparition des décimales de 0 à 9.
b) En expérimentant avec le tableur, diriez-vous que $\pi$ est, semble, ne semble pas ou n'est pas équiréparti ?
Et ${\sqrt{2}}$ (="sqrt(2)") ?

Remarque : à l'heure actuelle (fin 2009) personne n'a démontré que $\pi$ et ${\sqrt{2}}$ étaient équirépartis.

Définition : on appelle nombre « univers » tout nombre réel dont la suite des décimales contient toute suite finie choisie à l'avance. Le nom donné à ces nombres se justifie par le fait que, à condition de numériser l'information, le développement décimal d'un tel nombre renferme aussi bien le prochain tirage du loto, le prochain sujet du contrôle de mathématiques, l'édition complète des Misérables (1800 pages dans la collection La Pléiade), l'œuvre complète de Mozart (ou des Beatles), la toile de La Joconde pixel par pixel, mais aussi tout le code génétique de chacun d'entre nous … ! Un tel nombre renferme donc dans son écriture décimale tout ce qui existe, existera ou a jamais existé (en nombre fini) dans l'univers.

Le nombre de Champernowne valant 0,123456789101112131415161718192021... est-il un nombre univers ? Pourquoi ?
Diriez-vous que les nombres de la forme $\textstyle{{ \frac{1}{n}}}$ avec ${n}\in{{\mathbb{N}^\textrm{*}}}$ sont, semblent, ne semblent pas ou ne sont pas des nombres univers ?
On s'intéresse au nombre $\pi$ avec 100 décimales.
Dans la cellule B18 choisir des nombres entre 0 et 99. Sont-ils présents dans le nombre $\pi$ ? Si non, peut-on toujours les trouver en augmentant le nombre de décimales ?
A quel rang trouve-t-on 87 dans $\pi$ ? et 189 ?
Diriez-vous que $\pi$ est, semble, ne semble pas ou n'est pas un nombre univers ?
Et ${\sqrt{2}}$ ?

Remarque : à l'heure actuelle (fin 2009) personne n'a démontré que $\pi$ et ${\sqrt{2}}$ étaient des nombres univers.
Pour s'amuser : un site propose de trouver votre date de naissance dans les décimales de $\pi$.

Comparer deux fractions (lycée)

Christophe Devalland — 2009-10-28T14:05:00Z

On cherche à comparer les deux fractions $\textstyle{{{ \frac{n}{n+1}}}}$ et $\textstyle{{{ \frac{n+1}{n+2}}}}$ pour ${n}\in{{\mathbb{N}}}$.
1) Construire un tableau faisant apparaître les valeurs exactes et arrondies à ${10}^{-6}$ près de ces deux fractions pour ${n}\leq{15}$
2) Peut-on répondre au problème posé ?
3) Calculer dans une autre colonne la valeur exacte de $\textstyle{{{{ \frac{n}{n+1}}}-{{ \frac{n+1}{n+2}}}}}$. Commenter les résultats.
4) Sous la ligne ${n}={15}$, ajouter une ligne $n$ et recopier les formules calculant $\textstyle{{{ \frac{n}{n+1}}}}$, $\textstyle{{{ \frac{n+1}{n+2}}}}$ et $\textstyle{{{{ \frac{n}{n+1}}}-{{ \frac{n+1}{n+2}}}}}$.
Montrer que l'on peut maintenant répondre rigoureusement au problème posé.

Fichier créé pendant l'activité

B2 contient =subst("n/(n+1)" ;"n" ;A2)
C2 contient =subst("(n+1)/(n+2)" ;"n" ;A2)
D2 contient =evalf(B2 ;6)
E2 contient =evalf(C2 ;6)
F2 contient =csub(B2 ;C2)
les cellules jaunes sont obtenues par recopie

Composée de fonctions (lycée)

Christophe Devalland — 2009-10-28T13:52:00Z

Compléter les cellules B3, B4, B5, etc... avec des fonctions de référence pour construire les fonctions suivantes :
a) ${f{\left( x\right) }}={{{\left( 2 x+3\right) }}^{2}}$
b) ${g{\left( x\right) }}={{{ \frac{1}{3-x}}}}$
c) ${h{\left( x\right) }}={{\sqrt{x-1}}}$
d) ${k{\left( x\right) }}={{ \frac{1}{{x}^{2}-1}}}$
e) ${l{\left( x\right) }}={{\sqrt{{ \frac{1}{2 x}}}}}$
a) Construire la fonction composée des fonctions ${m{\left( x\right) }}={2 x}+1$ et ${n{\left( x\right) }}={{x}^{2}}$ et noter le résultat.
b) Inverser l'ordre des deux fonctions. Obtient-on le même résultat.
c) L'opération de composition est-elle commutative ?
a) Construire la fonction ${m{\left( x\right) }}={{\sqrt{{{\left( x+1\right) }}^{2}}}}$
b) Expliquer le résultat affiché.
a) Composer ${x}^{2}$ avec ${\sqrt{x}}$ et noter le résultat.
b) Inverser les deux fonctions. Pourquoi ne trouve-t-on pas le même résultat ?
c) Les ensembles de définition des fonctions obtenues en a) et b) sont-ils les mêmes ?

Résultat obtenu dans Calc

La cellule C3 contient :
=SI(B3="" ;"" ;SUBST(B3 ;"x" ;C2))
les cellules jaunes sont obtenues par recopie de B3

Fichier fourni pour l'activité

Diviser une fraction par 4 (collège)

Christophe Devalland — 2009-10-28T00:03:00Z

Calculer avec le tableur la division par 4 de chacune des fractions : $\textstyle{{ \frac{1}{2}}}$, $\textstyle{{ \frac{1}{3}}}$, $\textstyle{{ \frac{1}{4}}}$.
Deviner le résultat pour $\textstyle{{ \frac{1}{21}}}$. Vérifier avec le tableur.
Comment obtenir les mêmes résultats en utilisant une multiplication ?
Démontrer que votre raisonnement reste valable pour toute fraction $\textstyle{{ \frac{a}{b}}}$.

tableau construit au fur et à mesure

A2 contient =cdiv(A1 ;4)
A3 contient =cmul(A1 ;"1/4")
les cellules en jaune ont été recopiées à partir des précédentes.